49. Использование теории двойственности при принятии управленческих решений.

Математическая модель является прекрасным средством получения ответов на широкий круг самых разнообразных вопросов, возникающих при принятии оптимальных решений. Каждая задача линейного программирования может иметь соответствующую задачу, которая называется двойственной.

Экономический смысл двойственных задач.

Если исходная задача заключается в определении оптимального плана производства продукции при заданных ограниченных ресурсах, обеспечивающего max товарной продукции, то двойственная задача заключается в определении цен каждого вида ресурса из условий min их суммарной стоимости.

Связь между оптимальными планами пары двойственных задач устанавливают теоремы двойственности.

Теорема1.(основная теорема двойственности)

Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то и другая его имеет, причем значение целевой функции этих задач равны:max Z=min T

Если одна из двойственных задач не имеет решения, то и другая его не имеет.

Теорема2.(о дополняющей нежесткости)

Если при подстановке компонент оптимального плана в систему ограничений исходной задачи i-е ограничение обращается в строгое неравенство, то i-я компонента оптимального плана двойственной задачи равна 0.

Если i-я компонента оптимального плана двойственной задачи положительна, то i-е ограничение исходной задачи удовлетворяется ее оптимальным решением как строгое равенство.

Экономико-математический анализ оптимальных решений базируется на свойствах двойственных оценок. В пределах устойчивости двойственных оценок имеют место следующие свойства:1Величина двойственной оценки того или иного ресурса показывает насколько возросло бы максимальное значение целевой функции, если бы объем данного ресурса увелич на одну единицу (двойственные оценки измеряются эффективностью малых приращений объемов в конкретных условиях данной задачи).Это свойство позволяет выявить направления, обеспечивающие получения наибольшего экономического эффекта, а также целесообразные изменения в структуре производства продукции с позиций общего оптимума.2Двойные оценки отражают сравнительную дефицитность различных видов ресурсов в отношении принятого в задаче показателя эффективности.Оценки показывают, какие ресурсы являются более дефицитными (они будут иметь самые высокие оценки), какие менее дефицитны и какие совсем недефицитны(избыточны).3Двойственные оценки позволяют определять своеобразные «нормы заменяемости ресурсов»-имеется в виду не абсолютная заменяемость ресурсов, а относительная, т.е. заменяемость с точки зрения конечного эффекта и лишь в конкретных условиях данной задачи.4Двойственные оценки служат инструментом определения эффективности отдельных хозяйственных решений (технологических способов), с их помощью можно определять выгодность новых видов продукции, эффективность новых технологических способов. если ∆j=≤0 – выгодно; если ∆j>0 – не выгодно.