4.2 Анализ устойчивости системы

Устойчивость системы - ее способность восстанавливать состояние равновесия после прекращения внешнего воздействия.

Для определения устойчивости САР существуют специальные признаки - критерии устойчивости.

Алгебраический критерий (критерий Гурвица)

Данный критерий основан на анализе коэффициентов характеристического уравнения замкнутой САР:

Согласно критерию Гурвица САР будет устойчива, если все коэффициенты характеристического уравнения n-го порядка положительны и все определители Гурвица до (n-1)-го порядка больше нуля.

, , ,

Так как при а₀>0, то САР устойчива.

Частотный критерий (критерий Найквиста)

Этот критерий позволяет определить устойчивость замкнутой САР, используя амплитудно-фазовую характеристику (АФХ) разомкнутой САР.

Путем формальной замены в выражении разомкнутой системы р на jw , то получим выражение для АФХ разомкнутой САР:

На комплексной плоскости, изменяя частоты ? от 0 до ?, строим годограф. Согласно критерию Найквиста замкнутая САР будет устойчива, если годограф АФХ разомкнутой системы на комплексной плоскости не охватывает точку с координатами (-1,j0).

Рисунок 1 Годограф АФХ разомкнутой системы

Таблица 1

Определение запаса устойчивости системы

Наибольшее распространение для определения запаса устойчивости получил способ, основанный на использовании критерия Найквиста.

Определяются две величины - запас устойчивости по амплитуде и запас устойчивости по фазе.

Запас устойчивости по амплитуде определяется как величина ?К, на которую может возрасти модуль АЧХ разомкнутой системы, чтобы система оказалась на границе устойчивости.

?К=0 -(-1)=1

Запас устойчивости по фазе равен величине ?, на которую должно измениться запаздывание по фазе, чтобы система оказалась на границе устойчивости.

Дуга радиусом R=1 проведенная из центра координат из точки (-1;j0) пересекает годограф, значит ?

Система устойчива по критерию Найквиста.