Метод проведения полевого опыта
Задача 2
Определить 95%-ный и 99%-ный доверительные интервалы для генеральной средней. Проверить нулевую гипотезу об отсутствии существенных различий между выборочными средними. Оценить существенность разности выборочных средних по t-критерию и критерию F.
Цифровую информацию заимствовать из табл. 2, из которой использовать урожайность первых двух вариантов.
Урожайность по варианту 17: 245,290,217,280 (табл. 3)
Урожайность по варианту 15: 240,282,210,173 (табл. 4)
"right">Таблица 3
Х1 |
Х1 - Хср |
(Х1 - Х1 ср)2 |
Х12 |
|
245 |
-13 |
169 |
30025 |
|
290 |
32 |
1024 |
84100 |
|
217 |
-41 |
1681 |
47089 |
|
180 |
-53 |
2809 |
32400 |
|
? 932 |
0 |
5683 |
||
Х1 ср 233 |
Х1 ср = 932/4 = 233
S2 = ?(Х - Хср)2 /n-1 = 5683/3 = 1894,33
S = v S2 = 43.52
V = S/ Хср * 100 = 43.52/233*100 = 18.68%
S Хср1 = v S2/n = v1894.33/4 = 21.76
S Хср1 % = S Хср1/ Хср1 * 100% = 21.76/233*100 = 9.34 %
Х1 ср ±t05 S Хср1 = 233±3,18*21.76 = 233±69.19 (163.81-302.19 )
Х1 ср ±t01 S Хср1 =233 ±5,84*21.76 = 233±127.08 (105.92 - 360.08)
Теоретические значения t берем из табл. для 5%-ного и 1%-ного уровня значимости при степенях свободы n=4-1 = 3
t05 = 3,18
t01= 5,84
Итак, средняя изучаемой совокупности с 95%-ным уровнем вероятности находится в интервале 163.81-302.19 и с 99%-ным уровнем - в интервале 105.92 - 360.08. вероятность ошибочного заключения в первом случае составляет 5%, а во втором - 1%. Абсолютная ошибка средней S равна 21.76 и относительная ошибка равна 9.34 %. Коэффициент вариации в данном случае V=18.68 % характеризует в данном примере ошибку параллельных анализов.
"right">Таблица 4
Х2 |
Х2 - Х2 ср |
(Х2 - Х2 ср)2 |
|
240 |
-13,75 |
189,0625 |
|
282 |
55,75 |
3108,0625 |
|
210 |
-16,25 |
264,0625 |
|
173 |
-53,25 |
2835,5625 |
|
? 905 |
6396,75 |
||
Х1 ср 226,25 |
Х2 ср = 905/4 = 226,25
S2 = ?(Х - Хср)2 /n-1 = 6396,75/3 = 2132,25
S = v S2 = 46,17
V = S/ Хср2 * 100 = 46,17/226,25*100 = 20,41%
S Хср2 = v S2/n = v2132,25/4 = 23,09
S Хср % = S Хср/ Хср2 * 100% = 23,09/226,25*100 = 10,20 %
Х2 ср ±t05 S Хср2 = 258±3,18*23,09 = 226,25±73,43(152,82 - 299,67)
Х2 ср ±t01 S Хср2 =258 ±5,84*23,09 = 226,25±97,70 (128,55 - 323,95)
Итак, средняя изучаемой совокупности с 95%-ным уровнем вероятности находится в интервале 152,82 - 299,67и с 99%-ным уровнем - в интервале 128,55 - 323,95. вероятность ошибочного заключения в первом случае составляет 5%, а во втором - 1%. Абсолютная ошибка средней S Хср равна 23,09 и относительная ошибка равна 10,20 %. Коэффициент вариации в данном случае V=20,41% характеризует в данном примере ошибку параллельных анализов.
Далее необходимо определить, существенно ли различаются эти выборочные средние при 0,95-95% уровне вероятности или 0,05-5% уровне значимости, т.е. проверить нулевую гипотезу
Н0: µ1 - µ2 = d = 0.
Х1 ср ±t01 S Хср1 =233 ±5,84*21.76 = 233±127.08 (105.92 - 360.08)
Х2 ср ±t01 S Хср =226,25 ±5,84*23,09 = 226,25±97,70 (128,55 - 323,95)
Доверительные интервалы для генеральных средних перекрывают друг друга, и, следовательно, разность между выборочными средними d = Х1 ср - Х2 ср = 233-226,25 = 6.75 нельзя переносить на генеральные средние µ1 и µ2, так как генеральная разность между ними D = µ1 - µ2 может быть равна и нулю и даже отрицательной величине, когда µ2 >µ1. Поэтому гипотеза Н0 : d = 0 не отвергается.
Нулевую гипотезу об отсутствии существенных различий между выборочными средними можно проверить и другим способом интервальной оценки генеральных параметров совокупности. По формуле
Sd = v( S Хср12 + S Хср22 )
можно определить ошибку разности средних, а затем рассчитать доверительные интервалы для генеральной разности средних D. Если доверительные интервалы перекрывают нулевое значение и включают область отрицательных величин, то Н0:d = 0 не отвергается, а если лежат в области положительных величин, то Н0 отвергается и разность признается существенной.
Имеем:
d = Х1 ср - Х2 ср = 233-226,25 = 6.75
Sd = v( S Хср12 + S Хср22 ) = v(21.762+ 23,092) = 31.73
При n1 + n2 - 2 = 4+4-2 = 6 степенях свободы t05 = 2.45 и t01 = 3,71
Найдем доверительные интервалы для генеральной разности:
95% - d± t05sd = 6.75±2.45*31.73 = 6.75±77.74 (-70.99 - 84.49)
99% - d± t05sd = 6.75±3,71*31.73 = 6.75±117.72 (-110.97 - 124.47)
Нулевая гипотеза Н0:d = 0 не отвергается, так как доверительные интервалы включают нуль и область отрицательных величин, т.е. разность меньше предельной случайной ошибки разности (d<tsd ).
Далее оценим существенность разности выборочных средних по t_критерию.
Фактическое значение критерия существенности находим по соотношению:
t = (х1ср - х2ср )/ v( S Хср12 + S Хср22 ) = (233-226,25)/31.73 = 0.21
Сопоставляя фактическое значение t с теоретическим, приходим к выводу, что tфакт < t05 и 2.45 и tфакт < t01 . Следовательно, разность несущественна.
Оценим существенность разности по критерию F.
F = s12 / s22
s12 = 21.762 = 473.49
s22 = 23,092 = 533.15
F05 = 6.39
F01 = 15.98
F = s12 / s22 = 473.49/533,15 = 0, 88
Получаем:
Fф < F05 и Fф < F01
Следовательно, нулевая гипотеза не отвергается, между всеми выборочными средними нет существенных различий.