1 Основні принципи та системний підхід до побудови математичної моделі в екології

2.1 Особливості математичного моделювання

Впровадження математичних методів в екологію, а також формування математичної екології пов’язані з моделюванням стану довкілля (еколого-географічних об’єктів (утворень, процесів), їх властивостей і відношень).

Математизація екології – це передусім розвиток математико-еколого-географічного моделювання. При цьому виділяють дві самостійні, хоч і взаємопов’язані проблеми: 1) використання формальної (штучної) математичної мови; 2) застосування власне математичних методів. Перше стосується побудови моделей, друге – їх дослідження і використання у числових розрахунках.

Побудова математичних моделей базується тільки за допомогою певних кількісно чітко визначених величин, які у процесі дослідження можуть змінюватись або залишитись незмінними (константами). Тому перш ніж будувати математичну модель або застосовувати уже відомі математичні методи і моделі, необхідно розчленувати об’єкт дослідження на ті елементи (компоненти), які характеризують найбільш істотні властивості даного об’єкта (процесу, явища). Потім кожному елементу утвореної таким чином системи ставиться у відповідність певна кількісна величина. Внаслідок цього одержимо деяку абстрактну систему взаємопов’язаних елементів (компонентів), що представляє (моделює) ту реальну систему або об’єкт, які ми досліджуємо. Процес (процедура) побудови такої абстрактної спрощеної системи називається математичною формалізацією реального об’єкта, явища або системи. Тому побудована абстрактна система і є певною моделлю реальної системи. Але це ще не математична модель у повному розумінні цього поняття (слова). Необхідно ще встановити зв’язки між окремими елементами системи та між елементами системи і середовищем, в якому функціонує ця система. На етапі встановлення кількісних зв’язків та співвідношень між елементами побудованої системи (моделі) застосування математичних методів можна вважати традиційним. Тут широко використовуються методи математичної статистики, методи побудови емпіричних формул, менше – комбінаторний та логічний аналіз. Статистичний аналіз давно застосовується майже в усіх описових науках і тим більше в еколого-географічних дослідженнях.

Математичне або імітаційне моделювання є однією з найбільш корисних і ефективних форм моделювання, яке виражає (відображає) найістотніші риси реальних об’єктів, процесів, явищ і систем, що вивчаються різними науками.

Створити математичну модель того чи іншого реального процесу або явища в повному розумінні цього поняття, не завжди вдається чітко математично описати реальний об’єкт, процес, явище або, як кажуть, реальну систему. Вихід з даного становища надає імітаційне моделювання. Суть якого полягає в тому, що модель реальної системи будується спочатку словесно (вербально), концептуально, а потім залучаються всі існуючі методи для формалізації і математичного опису моделі, включаючи методи інформатики, системного аналізу і математичного моделювання. Основною умовою побудови імітаційної моделі є використання сучасних електронних обчислювальних машин (ЕОМ). Основою якого є широке використання інтуїції науковця, дослідника чи спеціаліста та їх робота в діалоговому режимі з ЕОМ. Отже, поступаючись в точності математичного опису окремих елементів реальної системи, імітаційна модель, як правило, повинна мати перевагу відносно її інформативності та практичного використання. З огляду на останнє зауваження випливає, що усяка математична модель, яка успішно використовується для розв’язання складних практичних задач і проблем, з повним правом може називатися імітаційною моделлю або імітаційним моделюванням.

Отже, існує різноманітність способів і прийомів математичного моделювання, причому в назві математичної моделі часто відбивається назва того чи іншого математичного методу, що застосовується при побудові моделей. Наприклад, розрізняють моделі дискретні і неперервні, детерміністичні і стохастичні, аналогові і символічні та ін.

Властивості математико-екологічних моделей є те, що вони виступають не лише в ролі посередника між дослідником і об’єктом дослідження, а й проміжним об’єктом між теорією та дійсністю, відбиваючи певну одиничну, індивідуальну систему.

Математична мова у процесі моделювання використовується для опису у більшості випадків сформованої на основі еколого-географічних теорій і концепцій задачі дослідження об’єкта.

2.2 Суть системного аналізу довкілля

Системний аналіз – це методологія дослідження об’єктів з метою визначення найбільш ефективних методів управління ними.

Системи можна представити як упорядковану послідовність елементів, кожен з яких є самостійною підсистемою по відношенню до елементів, розташованих на одній горизонталі є складовими по відношенню до підсистеми більш високого порядку, розташованої вище по вертикалі.

Структурний аналіз передбачає декілька етапів. На першому експерти формулюють мету, уточнюють область дослідження. На другому етапі здійснюють первинну структуризацію системи – окреслюють межі системи, що досліджується, зовнішнє середовище, прогнозують вплив системи на середовище і навпаки. Якщо система мало залежить від зовнішнього середовища, вона вважається замкненою. Система, яка залежить від зовнішнього середовища, але сама на нього впливає мало, є відкритою. На цьому етапі виділяють окремі складові частини – її елементи.

На третьому етапі формулюють математичну (статичну) модель системи, що досліджується. Вона включає підсистеми і елементи, з яких складається система. Поділ системи на частини є відносним, умовним. Він залежить від мети моделювання. Розрізняють декілька етапів моделювання системи.

Підсистема – компонент системи, більший порівняно з елементом і детальніший, ніж система в цілому. Вона має властивості системи (наприклад, властивість цілісності), чим відрізняється від групи елементів.

Структура системи – це склад її за елементами, взаємовідношення між елементами та їх групами, які мало змінюються при змінах у системі, забезпечують існування системи та її основних властивостей. Найчастіше структуру відображають графічно.

Зв’язок відбиває відношення між елементами системи. Він характеризується напрямом, силою, характером. Розрізняють зв’язки направлені й ненаправлені, сильні й слабкі, підпорядкування, породження, рівноправні, управління, внутрішні й зовнішні, прямі й зворотні тощо.

Стан системи – це її характеристика в певний момент часу.

Поведінка. Якщо система здатна переходити з одного стану в інші (наприклад, S1 → S2 → S3), то кажуть, що вона має поведінку.

Рівновагу системи розглядають як її здатність за відсутності зовнішніх збурюючих дій (або при постійних діях) зберігати свій стан.

Стійкість – здатність системи повертатись до стану рівноваги після того, як вона була з цього стану виведена зовнішніми збурюючими діями. Ця здатність притаманна системі при відхиленнях, що не перевищують певної межі.

Розвиток системи – це її перехід з одного стану в інший.

Метою системи є заздалегідь продуманий результат свідомої діяльності людини. У багатьох детермінованих задачах системного аналізу метою є знаходження оптимуму певного показника.

Навколишнім середовищем для системи є все те, що не входити до її складу.

Рішенням називається будь-який вибір суб’єктом дослідження параметрів. Прийняття рішень є компетенцією осіб, яким надано право остаточного вибору ОПР (особа, що приймає рішення). Поряд з результатами, отриманими в результаті математичних розрахунків.

Адаптація – здатність системи проявляти цілеспрямовану пристосувальну поведінку в складних середовищах, а також сам процес такого пристосування.

Функція – здатність об’єкта до виконання дій, спрямованих на досягнення мети. Функціональна система сукупність об’єктів, об’єднаних однією функцією, яка виділяє цю сукупність з оточуючого середовища і визначає на ній множину функціонально значимих відношень.

Розглянемо основні закономірності систем

Цілісність. Закономірність цілісності проявляється в системі у виникненні нових якостей, не притаманних її окремим елементам.

Інтегративність. Інтегративними називають системоутворюючі, системозберігаючі фактори, для яких важливими є неоднорідність та суперечливість їх елементів.

Комунікативність. Кожна система не є замкненою. Великою кількістю комунікацій вона пов’язана з зовнішнім середовищем, яке також є не однорідним, а складним утворенням, містить надсистеми чи надсистеми, що задають вимоги та обмеження системі, що досліджується, підсистеми і системи одного з нею рівня.

Ієрархічність. Закономірність цілісності проявляється на кожному рівні ієрархії. Завдяки цьому на кожному рівні виникають властивості, котрі не можуть розглядатися як сума властивостей елементів.

Закон необхідного різноманіття полягає в тому, що для створення системи, здатної вирішувати проблему, яка має певне різноманіття, ніж різноманіття проблеми, що вирішується, або була здатною створити у собі це різноманіття.

Закономірність здійсненності та потенційної ефективності систем. Складність структури системи пов’язана зі складністю її поведінки. Маючи кількісні вираження граничних законів дійсності, перешкодостійкості, керованості та інших якостей систем з огляду на певну якість, а об’єднуючи якості – граничні оцінки життєздатності та потенційної ефективності складних систем.

Закономірності формування мети залежать від обраного методу подання і аналізу систем.

2.3 Системний підхід до побудови математичних моделей

Системний підхід пронизує всі питання побудови математичних моделей в еколого-географічних дослідженнях, а тому варто коротко зупинитись на цьому важливому понятті з точки зору математики і знакової символіки, яка дозволяє формалізувати як поняття системи, так і її складові елементи.

Якщо елементи, що утворюють деяку систему, позначити символами x1, x2, x3, ., xn , де n – число елементів, то множину (вектор) , природно назвати складом системи S.

Елементи x1, x2, x3, . , xn об’єднуються в ціле (систему) певними відношеннями і зв’язками, які називаються системоутворюючими. Крім того, що ці елементи об’єднуються зв’язані між собою, вони зазнають впливу зовнішніх відносно S об’єктів. Таким чином, кожна система S впливає сама і зазнає впливу з боку нескінченної множини інших систем e1, e2, . ek, ek+1 . Якщо все ж таки вибрати певну міру інтенсивності взаємодії, то можна установити певне число зовнішніх систем v1, v2, v3, ., vm, що взаємодіють з даною системою S. Множину V, що складається з зовнішніх систем, які знаходяться в істотних (в певному сенсі) зв’язках з даною системою S, прийнято називати довкіллям і позначати таким символом (вектором): .

Множину відношень (зв’язків) між елементами системи та елементами системи і довкілля називають структурою даної системи S і позначають її так: .

де i – число всіх зв’язків, що утворюють структуру системи S.

Склад X, довкілля V і структура Σ можуть змінюватися в часі, що записується таким чином:

Функцією системи S називається закон (сукупність правил) F(t), за яким в залежності від зовнішніх чинників V(t) відбувається зміна в часі внутрішніх елементів X(t) і структури Σ(t).

Формалізоване означення поняття системи S(t), що функціонує в довкіллі V(t), називається множина об’єктів: S(t) = S (X,V,Σ,F), що утворена із сукупності внутрішніх елементів X(t), які зв’язані між собою і з довкіллям V(t) сукупністю зв’язків Σ(t), які змінюються в часі у відповідності з множиною функцій F(t).

Системний підхід до вивчення будь-яких реальних систем полягає : 1) у визначенні складових частин x1, x2, x3, ., xn, і взаємопов’язаних з ними елементів (чинників) довкілля v1, v2, v3, ., vm; 2) у вивченні структури внутрішніх зв’язків, а також зв’язків між елементами системи і зовнішніми чинниками; 3) у знаходженні законів функціонування системи F = {f1, f2, f3, ., fp}, що визначають характер зміни (динаміку) основних компонентів системи під дією зовнішніх об’єктів (елементів довкілля).

Для розв’язання цих завдань при еколого-географічних дослідженнях використовують різноманітні методи. Важливе місце належить математичному моделюванню.

Якщо позначимо систему через S = S0 ( X0,V0, S0, F0), тоді під її математичною моделлю S0 будемо розуміти деяку її модель S = S (X, V, Σ, F), у якої елементами (компонентами) множин X, V, Σ, F виступають математичні символи, як правило, змінні і постійні величини, зокрема скалярні функції від часу t , на інтервалі t0≤t≤ tN , а саме:

Структура Σ являє собою множину математичних співвідношень між компонентами множин, які записуються у вигляді рівнянь і нерівностей такого вигляду:

Як відомо, співвідношення зв’язують собою зовнішні і внутрішні моделі, які описують характеристики (властивості) як компонентів даної системи, так і чинників довкілля.

Функція F={f1, f2, . , fn} є ніщо інше, як розв’язувальний оператор, який за допомогою математичних співвідношень різного виду по заданим входом v1(t), v2(t), ., vm(t) з тією чи іншою точністю визначає функції x1, x2, . xn на інтервалі t0≤t≤tN:

які задовольняють рівнянням і нерівностям і заданим початковим умовам:

Попри всі переваги методу математичного моделювання не можна не відзначити, що нерідко відсутність чітких уявлень про характеристики цих процесів (явищ) підміняються наведенням великої кількості експериментальних даних, а за теоретичне (модельне) описування видається підібраний емпіричний вираз (одна або кілька формул) без зазначення границі області його застосування. Такий напівемпіричний опис може не мати нічого спільного з реальним процесом (явищем), особливо в тій частині області застосування моделі, яка лежить поза границею адекватності, що й робить побудовану модель мало ефективною. Ось чому тільки та математична модель, яка описує суть процесу чи явища, розкриває закономірності їх проходження і є адекватною в математичному описуванні окремих характеристик реальної системи.

2.4 Математичне та статистичне підґрунтя

Моделювання стану довкілля поділяється на теоретичне та прикладне, кожне з яких у свою чергу ділиться на класичне та байєсівське. В даному посібнику наголос робиться на класичному підході. Байєсівський підхід не розрахований на початківців.

Теоретичне моделювання стану довкілля стосується методів вимірювання еколого-географічних зв’язків, визначених соціально-екологічними моделями. У цьому аспекті моделювання стану довкілля базується на математичній статистиці. Наприклад, один з найбільш використовуваних засобів у математичному моделюванні є метод найменших квадратів. Завдання теоретичного моделювання стану довкілля – детально записати припущення цього методу, його властивості та що відбувається з цими властивостями, коли одне чи більше припущень не виконуються.

Прикладне моделювання стану довкілля використовує засоби теоретичного, наприклад, лінійної функціональної залежності з конкретними прикладами та ін.